絶対的なマナーやルールはありませんが、以下のように入れていただくのが一般的です。
【単判カード】
封筒を開いたときに挨拶文が印字されている面（正面）が見える向きで封筒に入れます。
【2つ折りカード】
挨拶文が印字されている面（正面）を内側にして折り、折り目を上にして封筒に入れます。
※結婚などおめでたいことに関する挨拶状の場合は、折り目が封筒の底にくるように入れることもあるそうです。
【3つ折りカード】
左面を先に折り、右面を折って重ね合わせ、本文の先頭ページを上にして折ります。
封筒と3つ折りカードの文章の上下が合うように、封筒に入れます。